Menu

Przenikanie wielościanów

Rozwiązanie: Ostrosłup ABCS znajduje się w położeniu dowolnym,  żadna jego ściana nie jest rzutująca. Wykreślenie przekroju wymaga w tym wypadku sprowadzenia płaszczyzny  do położenia rzutującego przez jej obrót lub transformację układu odniesienia w taki sposób, aby płaszczyzną cięcia była rzutująca. Spróbujmy wykorzystać drugi sposób. W tym celu obieramy nowy układa odniesienia X1(π1,π3) taki, aby oś X1 była prostopadła do śladu poziomego płaszczyzny hα. Następnie kreślimy trzeci rzut ostrosłupa i znajdujemy ślad płaszczyzny cięcia  mα. Ślad wykreślamy obierając dowolny punkt na śladzie pionowym płaszczyzny Vα  (p. M) i znajdując jego trzecie położenie na rzutni  π3 (p. M'''). Ślad płaszczyzny tnącej przecina ostrosłup w trzech punktach 1''', 2''' i 3'''. Przenosimy te punkty na poprzednie rzutnie znajdując w ten sposób przekroje na rzucie pionowym i poziomymDwa dowolne wielościany przenikają się, jeśli część przestrzeni należy do zarówno do jednego jak i drugiego wielościanu. Zbiór punktów należących do ścian jednego i drugiego wielościanu nazywamy linią przenikania. Linia przenikania rzadko kiedy jest figurą płaską, najczęściej tworzy wielokąt przestrzenny w którym wierzchołkami są punkty przebicia ścian jednego wielościanu krawędziami drugiego. Bokami takiego wielokąta są odcinki łączące wierzchołki, które leżą na ścianie pierwszego wielościanu i na ścianie drugiego wielościanu.

W celu wyznaczenia linii przenikania wielościanów należy:
1. Wyznaczyć punkty przebicia jednego wielościanu krawędziami drugiego i odwrotnie.
2. Określić pary punktów które leżą tylko na jednej ścianie zarówno pierwszego jak i drugiego wielościanu.
3. Określić widoczność odcinków łączących wyznaczone punkty. Widoczne są tylko te odcinki które leżą na widocznych ścianach obu wielościanów.
Widoczność punktów określa się najczęściej za pomocą pomocniczych siatek, w  których prostymi poziomymi i pionowymi są krawędzie wielokątów, a pola leżące między nimi bokami wielokątów. Kwadraty takiej siatki pokazują więc schematycznie zbiory punktów leżących jednocześnie na jednym i drugim wielokącie. Na siatce znakiem "+" oznacza się ściany widoczne, a znakiem "-" ściany niewidoczne. Jeśli odcinek łączący parę punktów wierzchołkowych linii przenikania znajdzie się na ścianie oznaczonej dwoma plusami, to odcinek ten na rysunku będzie widoczny, jeśli wystąpi "plus i minus", lub dwa "minusy", to odcinek będzie niewidoczny na rysunku oznaczamy go linią przerywaną.
 
Pozornie wszystko wygląda prosto, jednak w praktyce wymaga bardzo skomplikowanych konstrukcji. Zacznijmy więc od najprostszych zadań.
Zadanie 1. Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa o podstawie czworokąta leżącej w płaszczyźnie rzutni poziomej "π1" prostą "l" rzutującą.
Rozwiązanie: Przez punkt A' będący rzutem prostej l na płaszczyznę "π1" i wierzchołek wielokąta W' prowadzimy płaszczyznę rzutującą. Płaszczyzna ta przecina podstawę wielokąta w p. 1'. Znajdujemy na odnoszącej rzut tego punktu na płaszczyźnie pionowej 1". Szukane przebicie ostrosłupa (p. A") będzie na odnoszącej poprowadzonej z p. A' i prostej łączącej p. 1" i W".

 

Zadanie 2: Znajdź punkty przebicia wielościanu prostą czołową (l ‖ π2).
Rozwiązanie: Przez prostą l prowadzimy płaszczyznę pomocniczą rzutującą "ε". Płaszczyzna ta przecina graniastosłup w w p. 1 i 2 oraz 3, a jej rzutem poziomym jest rzut prostej l'=ε'. Znajdujemy drugie rzuty p. 1", 2", 3" i kreślimy krawędź przecięcia graniastosłupa ε" (kolor zielony). Przecięcie się krawędzi i pionowego rzutu prostej l (l") wskazuje punkty przecięcia graniastosłupa (A" i B"). Znajdujemy na odnoszącej drugie rzuty tych punktów i określamy widoczność prostej.

Zadanie 3: Znajdź punkty przecięcia graniastosłupa prostą skośną.

Rozwiązanie: To już trudniejsze zadanie, mamy znaleźć punkt przebicia prostej i płaszczyzny (nawet dwóch płaszczyzn) oznaczonych w przestrzeni przez trzy punkty. Są to płaszczyzny wyznaczone przez punkty AWD i CWD, przynajmniej takie jest nasze początkowe założenie. Rozwiązanie zadania wymaga wprowadzenia dodatkowej płaszczyzny "α" przechodzącej przez naszą prostą i przez jakiś charakterystyczny punkt należący do obu płaszczyzn. Na rysunku jest to punkt W, wierzchołek ostrosłupa.   Narysowanie śladów takiej płaszczyzny wymaga jak wiemy co najmniej trzech punktów. Jeden to wierzchołek, drugi to punkt przebicia prostej "l" i rzutni (łatwy do znalezienia). Brakuje jednak trzeciego punktu. Wprowadźmy więc jeszcze jedną prostą "k" przecinająca prostą "l" w punkcie M.  Aby znaleźć ślady płaszczyzny "α":
- przedłużamy prosta l aż do osi rzutni i odnajdujemy na rzutni poziomej jego ślad Hl
- z punktu M" kreślimy odnoszącą aż do przecięcia się z rzutem poziomy prostej l'
- znajdujemy ślad poziomy prostej k (Hk),
- wykreślamy ślad poziomy płaszczyzny "α" łączą punkty Hk i Hl.(na rysunku linia zielona)

Znalezienie szukanych przez nas punktów jest już bardzo proste. Punkty te leżą na prostej "l" a tym samym na płaszczyźnie "α". Jak je wykreślić? Zwróćmy uwagę, że płaszczyzna "α" tnie nasz ostrosłup dokładnie w miejscach gdzie przechodzi przez niego prosta "l". Punkty przebicia  muszą więc leżeć na prostych łączących wierzchołek ostrosłupa i punkty w krawędziach jego podstawy, przez które przechodzi ślad płaszczyzny "α". Na naszym rysunku są to odpowiednio punkty 1 i 2.  Łącząc je z wierzchołkiem W otrzymujemy szukane punkty przebicia P i Q.
Na rzucie pionowym znajdujemy je na odnoszących i na koniec określamy widoczność.

W geometrii wykreślnej przenikanie figur można rozwiązywać na wiele sposobów, co nie znaczy, że należy z nich zawsze korzystać. Pewne rozwiązania są dłuższe inne krótsze. Poniżej kilka przykładów rozwiązań dla typowych sytuacji.
Przykład 1. Przenikanie ostrosłupów o podstawach leżących w jednej płaszczyźnie (rys.1).

Najprostsze rozwiązanie tego zadania to wprowadzenie dodatkowych płaszczyzn tnących ostrosłupy przez oba wierzchołki i krawędzie ich ścian bocznych. Aby wyznaczyć położenie takich płaszczyzn na rzutach poziomym i pionowym wprowadzamy w pierwszej kolejności pomocniczą prostą przecinająca wierzchołki obu ostrosłupów i znajdujemy jej punkt przebicia płaszczyzny (na rys.1 p.L). Następnie znajdujemy p. przebicia ostrosłupa  Γ1 krawędziami ostrosłupa  Γ2  a następnie p. przebicia ostrosłupa  Γ2  krawędziami ostrosłupa  Γ1. Płaszczyzny pomocnicze tworzą w tym wypadku trójkąty których wierzchołkami są wierzchołki graniastosłupów  Γ1 lub Γ2. oznaczone na rys. odpowiednio W1 i W2. Potem pozostaje tylko ustalenie widoczności poszczególnych krawędzi przenikania. Wykorzystujemy do tego celu siatkę kwadratów (rys. po lewej u góry), w której liniami pionowymi są krawędzie jednego ostrosłupa, poziomymi krawędzie drugiego ostrosłupa. Kolejność nanoszenia linii nie jest przypadkowa i tak: linie pionowe nanosimy w kolejności od lewej do prawej odwrotnie do ruchu wskazówek zegara. Linie poziome w kolejności z góry na dół odwrotnie do ruchu wskazówek zegara. Pola pomiędzy liniami są ze znakiem "+" jeśli ściana jest widoczna, lub ze znakiem "-" jeśli jest niewidoczna. Następnie nanosimy na siatce wszystkie punkty (w naszym przykładzie p. 1 leży np. na krawędzi a, pomiędzy krawędziami m i p). Ostatnim zadaniem jest dokładne ustalenie par punktów które będą ze sobą połączone. Punkty takie muszą być na jednej ścianie ostrosłupa  Γ1 i na jednej ścianie ostrosłupa   Γ2. Linie leżące na [polu z dwoma plusami są widoczne, te leżące na polach z chociaż jednym minusem - niewidoczne. UWAGA! - Siatki tworzy się osobno dla rzutu pionowego i poziomego.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});