Menu

Przekroje wielościanów

Przekrojem wielościanu nazywamy wielobok którego bokami są krawędzie wspólne wielościanu i płaszczyzny tnącej  φ. Wierzchołkami takiego wieloboku są punkty przebicia płaszczyzny φ przez wszystkie proste w których znajdują się krawędzie boczne wielościanu. Jeśli płaszczyzna przecina wielościan wypukły, to przekrój też jest wielokątem wypukłym. Sposób wyznaczania przekroju wielościanu zależy od położenia płaszczyzny tnącej i położenia wielościanu.  
 
ZADANIE 1. Wyznaczyć przekrój graniastosłupa o podstawie ABCDE, leżącej na rzutni π1 płaszczyzną tnącą określoną śladami α = (hα, Vα).

Rozwiązanie: Zwróćmy uwagę, że punkty przecięcia  graniastosłupa płaszczyzną na rzutni poziomej jednoczą się z rzutami jego wierzchołków A'B'C'D'E'. Ponieważ punkty te leżą jednocześnie na płaszczyźnie, ich rzutów pionowych szukamy według opisanych już wcześniej konstrukcji (zob. rzuty Monge'a).

ZADANIE 2. Znajdź przekrój graniastosłupa ukośnego płaszczyzną α = (hα, Vα)  równoległą do osi X.

Rozwiązanie: Znalezienie przekroju wymaga sprowadzenia płaszczyzny tnącej do postaci rzutującej. Ponieważ płaszczyzna α = (hα, Vα) jest równoległa do osi X, musimy wprowadzić trzecią rzutnię prostopadłą do osi X. Następnie wykreślić zarówno płaszczyznę jak i trzeci rzut graniastosłupa.

Jak widać na powyższym rysunku, płaszczyzna α przecina podstawę graniastosłupa w dwóch punktach. Nazwijmy je numerami 1 i 2. Oprócz tego tnie graniastosłup na krawędziach miedzy punktami AE, DH i CG. Punkty przecięcia przenosimy na pozostałe rzuty na odnoszących.

ZADANIE 3. Wykreśl przekrój ostrosłupa płaszczyzną α = (hα, Vα).

 

Rozwiązanie: Ostrosłup ABCS znajduje się w położeniu dowolnym,  żadna jego ściana nie jest rzutująca. Wykreślenie przekroju wymaga w tym wypadku sprowadzenia płaszczyzny  do położenia rzutującego przez jej obrót lub transformację układu odniesienia w taki sposób, aby płaszczyzną cięcia była rzutująca. Spróbujmy wykorzystać drugi sposób. W tym celu obieramy nowy układa odniesienia X1(π1,π3) taki, aby oś X1 była prostopadła do śladu poziomego płaszczyzny hα. Następnie kreślimy trzeci rzut ostrosłupa i znajdujemy ślad płaszczyzny cięcia  mα. Ślad wykreślamy obierając dowolny punkt na śladzie pionowym płaszczyzny Vα  (p. M) i znajdując jego trzecie położenie na rzutni  π3 (p. M'''). Ślad płaszczyzny tnącej przecina ostrosłup w trzech punktach 1''', 2''' i 3'''. Przenosimy te punkty na poprzednie rzutnie znajdując w ten sposób przekroje na rzucie pionowym i poziomym.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});