Menu

Rzuty na trzy płaszczyzny prostopadłe

Rzuty na trzy płaszczyzny prostopadłe

Odwzorowanie geometryczne figury przestrzennej można wykonać na dwóch rzutniach stosując szereg przekształceń (obrót,  kład, itp.) Jest to jednak często zadanie bardzo pracochłonne, wymagające dużej precyzji i wprowadzenia szeregu dodatkowych prostych pomocniczych ograniczających widoczność. W wielu wypadkach przy braku oznaczeń odwzorowanie figury nie jest możliwe bez wprowadzenia trzeciej rzutni. W poprzednim rozdziale omówiliśmy transformacje układu odniesienia, gdzie trzecia rzutnia była skośna do osi X, a oś rzutów równoległa lub prostopadła do wybranego elementu figury.  Poniżej zajmiemy się przypadkiem, w którym trzecia rzutnia π3 jest prostopadła do dwóch pozostałych π1 i π2.  Z geometrycznego punktu widzenia rzutnia taka jest  płaszczyzną podwójnie rzutującą, tzn. taką, której ślady są prostopadłe do osi X. Wiadomości wstępne o rzutowaniu prostokątnym w wersji dla szkół średnich zawarłem też w temacie 6 dokumentacji technicznej. 

Zadanie 1. Prosta k jest ^ do osi rzutów X i określona punktami A i B. Wyznacz za pomocą trzeciej rzutni punkty przebicia przez tą prostą płaszczyzn rzutujących π1 i π2.

Rozwiązanie tego zadanie w układzie trzech rzutni jest bardzo proste. Znajdujemy trzecie rzuty punktów A i B przenosząc je równoległe do do osi X. Punkty A''' i B''' wyznaczają prosta k'''. Prosta k''' przebija oś poziomą i pionowa odpowiednio w punktach Hk''' i Vk'''. Rysunek poniżej.

Wystarczy teraz przenieść w odwrotnym kierunku znalezione punkty na rzutnie π1 i π2.

ZADANIE 2. Dana jest płaszczyzna α określona śladami hα  i Vα oraz rzut pionowy punktu A leżącego na tej płaszczyźnie. Znaleźć rzut poziomy punktu A oraz jego odległość od osi X.

Zadanie rozwiążemy metodą trzech rzutni prostopadłych, przy czym w tym wypadku trzecią rzutnię poprowadzimy dla wygody przez punkt A. Trzecia rzutnia przecina płaszczyznę α i rzutnie π1 i π2 w punktach węzłowych Yα i Zα .Aby znaleźć drugi rzut punktu A w pierwszej kolejności znajdujemy rzut boczny płaszczyzny α (kα) na trzecią rzutnię przenosząc punkt węzłowy Yα.

Ponieważ trzecia rzutnia przechodzi przez punkt A to punkt ten leży także na śladzie bocznym płaszczyzny α . Przenosząc jego rzut pionowy na ślad boczny i rzutując w kierunku odwrotnym uzyskamy ślad poziomy punktu. Jego odległość od osi X to odcinek A'''O ( na rysunku kolor czerwony).

Szczególne położenie płaszczyzn w rzutowaniu prostokątnym.

A. Płaszczyzna α^π1 i π2 . Śladami płaszczyzny α jest prosta prostopadła do osi X.

B. Płaszczyzna  α║X i α║Z.

C. Płaszczyzna α║Z oraz α^π1

D. Płaszczyzna α║Y oraz α ^ do X i Z.

E. Płaszczyzna α║X oraz α ^ do Y i Z

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});