Menu

Obroty

5.1 Obrót punktu

Obrotem punktu A dookoła osi "l" nazywamy przemieszczenie tego punktu do nowego położenia o nazwie Al dokonane po łuku okręgu leżącego na płaszczyźnie prostopadłej do osi "l " i przechodzącej przez punkt A. Środek tego okręgu S, położony jest na osi "l" i nazywa się środkiem obrotu, a promień okręgu AS (r) nazywany jest promieniem obrotu. Kąt o który obraca sie punkt nazywamy kątem skierowanym ω, przy czym kierunek tego obrotu może być zgodny lub przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Konstrukcja obrotu jest możliwa pod warunkiem prostopadłości osi l do rzutni, tym samym płaszczyzna okręgu musi być płaszczyzną rzutująca lub czołową.

Z obrotem punktu A związane sa następujące elementy obrotu, których nazw będziemy od tej pory używać:
- prosta "l" jest osią obrotu
- płaszczyzna "ε" jest płaszczyzną obrotu
- punkt S jest środkiem obrotu
- odcinek AS długości "r" jest promieniem obrotu
- kąt "ω" jest skierowanym kątem obrotu
Przykład 1. Znaleźć obrót punktu A o kąt skierowany120° względem prostej l ^ π1

Prosta l jest prostopadła do płaszczyzny π1, a więc tworzy na tej płaszczyźnie ślad w postaci punktu l', który jest jednocześnie środkiem obrotu S'. Aby znaleźć rzut punktu A po jego obrocie o kąt skierowany poprowadzimy płaszczyznę rzutującą ε przez rzut pionowy punktu A (A"). Śladem pionowym tej płaszczyzny będzie prosta k" prostopadła do prostej l" przechodząca przez punkt A", a jej rzutem poziomym rzutnia π1 . Aby znaleźć rzut punkt A po jego obrocie, ze środka  obrotu S' zataczamy łuk o promieniu r równym A'S' i kącie 120° ,zgodnie ze wskazówkami zegara. uzyskujemy nowe położenie punkt A' (A1'). Z punktu tego prowadzimy rzutującą w kierunku prostej k" znajdując drugie położenie punktu A1".  Identycznie znajdujemy  rzuty punktu A dla osi obrotu "l" prostopadłej do  π2

5.2 Obrót prostej.

Obrotem prostej nazywamy obrót dwóch dowolnych punktów tej prostej o taki sam kąt skierowany. Dzięki obrotowi prostej możemy znaleźć rzeczywista długość odcinka leżącego na tej prostej, czy kąt nachylenia prostej w odniesieniu do płaszczyzny.

Przykład 2. Znaleźć rzeczywista długość odcinka AB, znając jego rzuty poziome i pionowe.

   

Rozwiązanie: Przez punkt A" prowadzimy prostą l" będącą osią obrotu. Rzut  poziomy  tej prostej będzie sie pokrywał z punktem A'. Następnie przez punkt B" prowadzimy płaszczyznę rzutująca ε równoległą do osi X, rzutem pionowym tej płaszczyzny będzie prosta k" a poziomym płaszczyzna  π1 . Aby znaleźć rzeczywista długość odcinka AB wykonujemy obrót punktu B' dookoła osi S' o taki kąt ω ,aby w nowym położeniu odcinek A'B1' był równoległy do osi X. Następnie prowadzimy rzutującą w kierunku osi X znajdując na przecięciu z prostą k" rzut p. B1". Rzeczywista długość odcinka AB wyznaczona jest przez p. A"B1" (kolor czerwony).

Przykład 3. Dana jest prosta m nierównoległa płaszczyzny π1 i π2   i punkt A leżący na tej prostej. Znaleźć i narysować na rzutach prostej odcinek AB o długości 200mm.

   

Rozwiązanie: Przez punkt A' prowadzimy prostą l' tak aby rzutem tej prostej (a jednocześnie środkiem obrotu) był punkt A". Na prostej m obieramy dowolny punkt pomocniczy np. K i wykonujemy jego obrót, tak aby w nowym położeniu prosta m była równoległa do płaszczyzny poziomej  π1, tym samym do osi X. Uzyskujemy nowe położenie prostej m (m1' i m1"). Prosta m1' jest równoległa do rzutni tym samym jej rzutem jest ta sam prosta. Odkładając na niej z p. A odcinek 200 mm odkładamy więc rzeczywistą długość tego odcinka. Wystarczy teraz przenieść odpowiednio rzuty p. B z prostej m1' na proste m' i m" aby uzyskać rzuty odcinka AB (kolor czerwony)

5.3 Obrót płaszczyzny

Obrotem płaszczyzny α lub figury leżącej w tej płaszczyźnie wokół osi "l" o kąt skierowany nazywamy obrót dookoła tej osi o ten sam kąt tylu punktów, aby możliwe było określenie płaszczyzny w nowym położeniu αl

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});