Menu

Elementy równoległe i prostopadłe

Równoległość dwóch prostych

Dwie proste są równoległe jeśli ich rzuty są równoległe.

Rys.1 Równoległość dwóch prostych, od lewej leżących skośnie do rzutni, równoległych do rzutni pionowej, leżących w płaszczyźnie prostopadłej do osi X, leżących w płaszczyźnie prostopadłej do rzutni.
Równoległość prostej i płaszczyzny

Prosta jest równoległa do płaszczyzny jeśli jest równoległa do dowolnej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, lub inaczej - jeżeli prosta jest równoległa do prostej leżącej na płaszczyźnie to jest też równoległa do tej płaszczyzny.

Rys. 2 Sprawdzenie warunku równoległości prostej i płaszczyzny.

W przypadku płaszczyzn nie pozostawiających śladów na rzutni, do wyznaczenia płaszczyzny wystarczą dwie proste przecinające się. Na rysunku płaszczyznę wyznacza trójkąt ABC. Aby sprawdzić, czy prosta k jest równoległa do płaszczyzny trójkąta, wystarczy sprawdzić, czy jest równoległa do jednego z jego boków. W naszym przypadku równoległość prostej k do boku AB sprawdza się na obu rzutach, tym samym prosta k jest ║ABC.

Sprawa się komplikuje, jeśli płaszczyzna pozostawia ślady na rzutni (Rys.3). Wyznaczenie w tym wypadku prostej równoległej do płaszczyzny wymaga określenia w pierwszej kolejności rzutów prostej należącej do płaszczyzny, a następnie znalezienia prostej do niej równoległej.

Rys.3 Znajdowanie prostych równoległych do płaszczyzny skośnej do rzutni pozostawiającej ślad poziomy i pionowy.

Na rysunku płaszczyzna α pozostawia ślad poziomy hα i pionowy Vα, aby znaleźć do niej prostą równoległą musimy w pierwszej kolejności wyznaczyć dowolną prostą (na rys. k) leżącą w tej płaszczyźnie. Określenie prostej wymaga poprowadzenia płaszczyzny rzutującej przez prostą k, a następnie z p. przecięcia ze śladem poziomym i osią X (odpowiednio p. hk' i Vk'), odnoszących i znalezienia odpowiednich rzutów tych punktów na rzutni pionowej (punkty hk'' i Vk''). Prowadząc przez p. proste otrzymujemy proste k' i k" będące rzutami prostej k należącej do płaszczyzny α. Wyznaczenie prostej m║α, wymaga poprowadzenia odpowiednio równoległych m'║k' i m"║k".

Równoległość dwóch płaszczyzn

Jeżeli dwie proste przecinające się  i leżące na jednej płaszczyźnie są równoległe do drugiej płaszczyzny, to obie te płaszczyzny także są względem siebie równoległe. Warunek równoległości dla płaszczyzn nie posiadających śladów wymaga w praktyce znalezienia dwóch par prostych równoległych do siebie. Ogólnie powiemy: Jeżeli dwie proste przecinające się są równoległe do dwóch innych przecinających się prostych, to płaszczyzny w których leżą te proste są do siebie równoległe. Warunek ten możemy zobaczyć na rys. 5.

Rys. 4

Rys.5 Równoległość dwóch płaszczyzn wyznaczonych przez proste a x b i k x m.

Równoległe są także płaszczyzny których jednoimienne ślady na rzutniach są do siebie równoległe

Rys.6

Prawdziwe jest też twierdzenie, że krawędzie utworzone z przecięcia dwóch płaszczyzn równoległych płaszczyzną do niech nierównoległą sa do siebie równoległe.

Rys. 7

Elementy prostopadłe

Prostopadłość dwóch prostych

Określenie prostopadłości dwóch prostych w przestrzeni nie jest sprawą łatwą, wymaga w pierwszej kolejności znajomości pojęcia prostopadłości prostej do rzutni. Teoretycznie dwie proste , których rzuty są do siebie prostopadłe nie muszą być prostopadłe w przestrzeni. Wiemy już bowiem z poprzednich rozważań, że rzutem prostej skośnej do rzutni czy równoległej do rzutni, ale leżącej w tej samej płaszczyźnie rzutującej jest ta sama prosta. Dwie proste a i b są wzajemnie prostopadłe, jeśli co najmniej jedna z nich jest równoległa do rzutni lub leży na rzutni, a druga prosta jest prostopadła do rzutni lub jej rzut jest prostopadły do rzutu pierwszej prostej.                                     

Powyższe twierdzenie można też sformułować inaczej: Jeśli dwie proste, z których jedna jedna należy do rzutni lub przynależy do płaszczyzny równoległej do rzutni, są wzajemnie prostopadłe na rzucie, to są też prostopadłe w przestrzeni.

Rys.8 Prostopadłość prostych w przestrzeni.

Prostopadłość prostej i płaszczyzny

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny jeżeli jest też prostopadła do dwóch dowolnych prostych nierównoległych (przecinających się) należących do tej płaszczyzny. Zobaczmy to na przykładzie rysunkowym.

Rys.9 i 10 Znajdowanie wzajemnej prostopadłości prostej i płaszczyzny.

Na rysunku 7 proste a i b należą do wspólnej płaszczyzny β, tym samym na jednym z rzutów pozostawiają te same ślady (a"=b"=β"). Warunkiem prostopadłości prostek k do płaszczyzny β jest prostopadłość jej rzutu k" do śladu płaszczyzny.

Jeśli płaszczyzna pozostawia na rzutniach ślady (jest skośna do rzutni Rys.10) to warunkiem prostopadłości prostej do tej płaszczyzny jest prostopadłość do śladów płaszczyzny. Dlaczego ? - ślady płaszczyzny są jednocześnie rzutami dowolnych prostych leżących na tej płaszczyźnie, tym samym prosta prostopadła do płaszczyzny musi być też prostopadła do śladu pionowego i poziomego płaszczyzny. 

Prostopadłość dwóch płaszczyzn

Dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, jeśli jedna z nich zawiera prostą prostopadłą do drugiej płaszczyzny. Ponieważ przez taką prostą można poprowadzić nieskończoną ilość płaszczyzn, to można powiedzieć, że każda płaszczyzna przechodząca przez prostą prostopadłą do płaszczyzny jest do niej prostopadła. Z warunku prostopadłości prostej wiemy już, że aby wyznaczyć prostą  prostopadłą do płaszczyzny, należy znaleźć jej prostopadłość do dwóch nierównoległych prostych należących do tej płaszczyzny (rys.9). Z kolei warunkiem przynależności prostej do płaszczyzny, jest jej odpowiednie odwzorowanie na rzutach, np.  sprawdzenie, czy ma tzw. punkt właściwy z drugą prostą nierównoległą należącą do tej samej płaszczyzny (rzuty Monge'a cz.2 , rys.12). Zobaczmy to na przykładach rysunkowych

Sprawdzenie prostopadłości dwóch płaszczyzn nie pozostawiających śladów

Płaszczyznę nie pozostawiającą śladów (nie przecinającą rzutni) wyznaczamy przez parę prostych, niech będą to proste m i n przecinające się w p. A. Drugą płaszczyznę niech wyznaczają proste k i p przecinające się w p. B 

Rys.11 Wzajemna prostopadłość płaszczyzn.

Proste nierównoległe leżą w jednej płaszczyźnie, jeśli mają punkt wspólny właściwy, tzn. taki, który ma rzuty na jednej odnoszącej prostopadłej do osi X. Jak widać z rys. 11 punkty A i B mają rzuty na odnoszących prostopadłych do osi, tym samym leżą w jednej płaszczyźnie. Aby obie płaszczyzny były prostopadłe należy jedną z prostych np. k poprowadzić prostopadle do rzutu odpowiedniej prostej m,   na drugim rzucie  prosta p musi być prostopadła do drugiej prostej n. Jeśli choć jeden z warunków prostopadłości nie będzie spełniony to płaszczyzny nie będą prostopadłe.

Prostopadłość płaszczyzn określonych śladami

Graficzne rozwiązanie tego przypadku jest bardziej skomplikowane. na płaszczyźnie α określonej śladami (poziomym) hα i (pionowym) vα , obieramy dowolną prostą leżącą na płaszczyźnie (niech będzie to prosta k). Znajdujemy ślady prostej (poziomy i pionowy). Ślad poziomy prostej k przecina ślad płaszczyzny w p. Hk' i oś X w p. Vk'. prowadząc odnoszące z p. przecięcia otrzymujemy odpowiednio p. Hk" na osi X i p. Vk" na przecięciu odnoszącej ze śladem pionowym płaszczyzny. Rzut pionowy naszej prostej jest na prostej łączącej te punkty. Aby wyznaczyć teraz płaszczyznę β prostopadłą do α, wystarczy obrać dowolny p. leżący na osi X i poprowadzić z niego prostopadłe do śladów prostej k.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});