Menu

Elementy wspólne

Można wyróżnić następujące elementy wspólne:
- punkt przecięcia się dwóch prostych
- punkt przebicia prostą płaszczyzny
- krawędź dwóch płaszczyzn
 
Znajdowanie elementów wspólnych należy do jednych z najważniejszych zadań geometrii wykreślnej i występuje w wielu konstrukcjach.
 
Punkt przecięcia dwóch prostych - problem ten omówiliśmy już wcześniej. w cz. II rzutów Monge'a. Punkt przecięcia sie dwóch prostych ma swój rzut na odnoszącej prostopadłej do osi x.
 
Punkt przebicia prostą płaszczyzny - możemy tutaj mówić o dwóch przypadkach:
- wyznaczaniu punktu przebicia prostą płaszczyzny rzutującej
- wyznaczaniu punktu przebicia prostą płaszczyzny dowolnej
 
Punkt przebicia prostą płaszczyzny rzutującej
 
Płaszczyzną rzutująca nazywamy płaszczyznę ^ do rzutni, możemy przy tym mówić o płaszczyźnie poziomo-rzutującej, prostopadłej do rzutni π1 i płaszczyźnie pionowo-rzutującej ^ do rzutni π2. Rzut każdego punktu leżącego na płaszczyźnie rzutującej należy do śladu tej płaszczyzny na rzutni. Z powyższego twierdzenia wynika, że również punkt przebicia płaszczyzny rzutującej prostą, będzie leżał na śladzie tej płaszczyzny. Znając położenie rzutu punktu przebicia i prostej łatwo znajdziemy drugi rzut na odnoszącej poprowadzonej w kierunku drugiej rzutni.

Rys.1 Punkt przebicia prostą płaszczyzny rzutującej.

Wyznaczanie krawędzi  płaszczyzny rzutującej z dowolną płaszczyzną.
 
Wyznaczanie krawędzi dwóch płaszczyzn czyli tak naprawdę wspólnej prostej, sprowadza się do wyznaczenia co najmniej dwóch wspólnych punktów tych płaszczyzn. W praktyce problem polega na wyznaczeniu dwóch punktów przebicia płaszczyzny rzutującej prostymi należącymi do płaszczyzny dowolnej. Znalezione rzuty punktów pozwalają wyznaczyć prostą będącą śladem szukanej płaszczyzny, poziomą dla płaszczyzny poziomo-rzutującej, pionowej dla płaszczyzny pionowo-rzutującej.

Rys.2 Znajdowanie wspólnej krawędzi płaszczyzny rzutującej z dowolną płaszczyzną.
 
Płaszczyzna rzutująca α jest prostopadła do rzutni pionowej, przecina się z płaszczyzną β leżącą skośnie w stosunku do obu rzutni. Aby wyznaczyć krawędź przecięcia poprowadziliśmy dwie proste k i m na płaszczyźnie β . proste te przecinają sie w p. X. Znajdując punkty przebicia A i B  prostymi k i m płaszczyzny rzutującej otrzymujemy rzuty tych punktów na płaszczyzny: A' B' na płaszczyznę poziomą i A" B" na płaszczyznę pionową. Punkty A" B" znajdą się na śladzie płaszczyzny rzutującej, natomiast A'B' na odnoszących poprowadzonych w kierunku rzutni poziomej. Ślad krawędzi dwóch płaszczyzn na rzutni pionowej pokrywa się ze śladem płaszczyzny rzutującej , natomiast na rzutni poziomej wyznaczamy go prowadząc prostą przez p. A' B'.
 
Wyznaczanie punktu przebicia prostej z dowolną płaszczyzną

Na początek rozpatrzmy przypadek gdy prosta m jest równoległa do obu rzutni. Aby znaleźć rzuty punktu (A) przebicia prostą m płaszczyzny α poprowadźmy przez prostą płaszczyznę rzutującą β w kierunku dowolnej rzutni np. π1 . Płaszczyzny α  i β mają wspólną prostą (krawędź) k. rzutem tej krawędzi będą ślady k' i k" odpowiednio na rzutni poziomej i pionowej. Ślad poziomy przecina ślad płaszczyzny hα w p. X. Aby znaleźć drugi (pionowy) rzut punktu przebicia (A"), z p. X' prowadzimy odnoszącą w kierunku osi X1,2, a następnie równoległą do śladu pionowego płaszczyzny. Otrzymana w ten sposób prosta jest śladem pionowym krawędzi k (k"). Rzut p. A" znajdziemy na przecięciu  odnoszącej poprowadzonej z p. A' z prostą k".

Rys.3
Teraz trudniejszy  przypadek, gdy prosta przebijająca płaszczyznę nie jest równoległa do żadnej z rzutni. Znalezienie drugiego rzutu punktu przebicia płaszczyzny (p. A), wymaga:
- poprowadzenia przez prostą m płaszczyzny rzutującej β, w kierunku dowolnej rzutni np.π2 w taki sposób, aby płaszczyzna przecięła oś X1,2, Płaszczyzna taka pozostawia ślad na rzutni pionowej β" natomiast na rzutni poziomej, ślad β' prostopadły do osi,     
-  znalezienia p. przebicia śladu płaszczyzny rzutującej ze śladem poziomym płaszczyzny hα (punkt X)
-  poprowadzenia odnoszącej z punktu przecięcia płaszczyzny rzutującej  ze śladem płaszczyzny  prostopadle do osi X1,2
- poprowadzenia z p.X' prostej do p. przecięcia się śladu poziomego płaszczyzn α i β.   prosta ta przecina rzut poziomy prostej m w p. A' będącym rzutem poziomym p. przebicia. 
 - rzut pionowy p. A znajdzie sie w miejscu przecięcia odnoszącej z rzutem prostej

Rys.4
 
Na rys. 5 mamy najtrudniejszy przypadek, gdy prosta nierównoległa do obu rzutni przebija płaszczyznę skośną do rzutni. Wyznaczenie p. przebicia wymaga tutaj:
- poprowadzenia płaszczyzny rzutującej prostopadłej do dowolnej rzutni przez punkt przebicia S, zawierającej prostą m, płaszczyzna rzutująca przecina płaszczyznę wzdłuż krawędzi k, której rzut poziomy pokrywa się ze śladem prostej m,
- poprowadzenia na płaszczyźnie dowolnej dwóch prostych (kolor zielony), przecinających się p. X, proste te przecinają krawędź k płaszczyzn w p. A i B, rzuty p. A i B znajdą się więc w miejscu przecięcia śladu krawędzi z rzutami prostych 
- punkt przebicia S płaszczyzny prostą m na rzucie poziomym znajdzie się na śladzie płaszczyzny rzutującej, natomiast na rzucie pionowym w miejscu przecięcia sie odnoszącej ze śladem pionowym krawędzi k"

Rys.5
 
Krawędź przecięcia się dwóch płaszczyzn dowolnych
 
Tym razem bez komentarza, wystarczy rysunek.

Rys. 6

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});