Menu

Część 3

Rzutowanie płaszczyzn

Powyższy temat wymaga przeczytania cz.1 i 2 o rzutach Monge'a, treści w nim zawarte są już dość skomplikowane. Przypomnę jednak, że płaszczyznę wyznaczają co najmniej trzy punkty lub prosta i punkt lub dwie proste posiadające punkt wspólny, bądź dwie proste równoległe. Rzutem  płaszczyzny równoległej do rzutni będzie cała rzutnia,  jeśli płaszczyzna jest prostopadła do rzutni, to będzie ją przecinać tworząc ślad w postaci prostej. jest to przypadek szczególny

Rys.1 Rzut płaszczyzny ^  do rzutni. Płaszczyzna ε jest jednocześnie ║  do osi X.

Rys.2 Rzut płaszczyzny ║ do rzutni π1

Rys.3 Rzut płaszczyzny prostopadłej do osi X.

Płaszczyzna może też być prostopadła do jednej z rzutni ale nierównoległa do osi X. Sytuacje taką obrazuje rys.4

Rys.4 Rzut płaszczyzny ε^π1  ale nie równoległej do osi X.

Jeśli płaszczyzna nie jest równoległa do rzutni π1 i π2, (ma położenie skośne do rzutni), to przecina rzutnie pozostawiając ślad poziomy i pionowy. Śladem poziomym płaszczyzny α nazywamy prostą wzdłuż której następuje przecięcie tej płaszczyzny z rzutnią π1 . Ślad ten oznaczamy w geometrii zwykle literą hα. Śladem pionowym płaszczyzny α nazywamy prostą wzdłuż której następuje przecięcie płaszczyzny z rzutnią π2 .  Ślad ten oznaczany jest jako vα. Ślady płaszczyzny przecinają oś x w p. zwanym węzłem. Można powiedzieć, że ślady płaszczyzny na rzutniach i węzeł jednoznacznie wyznaczają położenie płaszczyzny.

Rys.5 Odwzorowanie płaszczyzny α za pomocą jej śladów na rzutniach i punktu węzłowego.

Elementy przynależne

O wiele łatwiej jest mówić o wzajemnej przynależności punktu do prostej, czy punktu do płaszczyzny niż udowodnić to geometrycznie.  Zadania rysunkowe potrafią być bardzo skomplikowane, wymagają też wnikliwej analizy i umiejętności widzenia przestrzennego.  

Punkt przynależny do prostej

Jeżeli punkt i prosta przynależą do siebie, to odpowiednie  ich rzuty również do siebie przynależą. Wyjątkiem jest przypadek gdy prosta jest prostopadła do osi X.  Występuje wtedy konieczność obrania jeszcze jednej trzeciej rzutni. Jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie, że jeśli choć jeden z rzutów punktów nie przynależy do prostej, to punkt ten nie leży na prostej.

Prosta i płaszczyzna przynależne do siebie

Prosta i płaszczyzna przynależą do siebie jeśli prosta leży na płaszczyźnie, lub płaszczyzna przechodzi przez prostą. Sprawdzenie przynależności możemy wykonać dwojako:
1. Prosta należy do płaszczyzny, jeśli dowolne jej dwa punkty leżą na płaszczyźnie.
2. Prosta leży na płaszczyźnie jeżeli przechodzi przez punkt należący do tej płaszczyzny i jest równoległa do prostej leżącej na tej płaszczyźnie.
Możemy też powiedzieć, że jeśli prosta należy do płaszczyzny to ślady prostej i płaszczyzny na rzutniach muszą należeć do siebie (musza się pokrywać).
 
Punkt i płaszczyzna przynależne do siebie
 
Punkt należy do płaszczyzny, jeśli dowolna prosta przeprowadzona przez ten punkt też należy do płaszczyzny. Rzuty punktu przynależnego leżą na odpowiednich rzutach prostej leżącej na płaszczyźnie. Sprawdzenie tego warunku wykonujemy wykorzystując najczęściej tzw. proste osobliwe. Przykładem takiej prostej jest prosta prostopadła do osi x. 

Rys. 6.Rzut punktu przynależnego do płaszczyzny nieprostopadłej do  π1 i π2

Rys.7. Rzut punktu przynależnego do płaszczyzny prostopadłej do rzutni π1. W tym przypadku rzutem punktu A na rzutni π1 będzie punkt A' należący do śladu płaszczyzny.
 
Znajdowanie położenia punktu na płaszczyźnie.
 
Umiejętność graficznego określania położenia rzutów punktów należących do płaszczyzny jest kluczowa w geometrii wykreślnej. Wymaga zawsze wnikliwej analizy każdego przypadku i przestrzennego myślenia. Punkty mogą znajdować sie w różnych ćwiartkach  przestrzeni Monge'a,  tym samym ich położenie na rzucie jest inne, czasem wręcz irracjonalne. Poniżej przedstawiam gotowe schematy szukania położenia punktów w różnych przypadkach przedstawiania płaszczyzny za pomocą śladów, dwóch prostych przecinających się lub prostej i punktu.

Rys.8 Dla punktów w I ćwiartce i płaszczyzn oznaczonych śladami. U góry po prawej dla płaszczyzny rzutującej określonej prostymi równoległymi.

Rys.9 Dla punktów w I lub II ćwiartce i płaszczyzny oznaczonej śladami leżącymi na wspólnej prostej.

Rys.10. Szukanie rzutów punktów znajdujących się w III ćwiartce (po lewej) i IV ćwiartce (po prawej). Szczególne położenie dla p. B

Rys.11 szukanie punktów znajdujących sie w II ćwiartce dla płaszczyzny oznaczonej śladami równoległymi do osi X.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});