Menu

Część 1

Przedstawienie na kartce papieru figury przestrzennej  za pomocą tylko jednego rzutu nie jest możliwe. Powstały rzut będzie figurą płaską, uniemożliwiającą odczytanie wszystkich wymiarów (np. wysokości). Niedogodność tę rozwiązują w geometrii rzuty Monge'a, od nazwiska  twórcy tej metody, francuskiego matematyka Gasparda Monge'a. W metodzie Monge'a obiekty rzutowane sa na co najmniej dwie, lub trzy płaszczyzny wzajemnie do siebie prostopadłe. Układ dwóch płaszczyzn pokazuje rys. 1. Jedna z płaszczyzn zajmuje zwykle położenie poziome, stąd nazywana jest rzutnią poziomą i oznaczana jako π1, druga płaszczyzna prostopadła do niej nazywa sie rzutnią pionową i oznaczana jako π2. Przecięcie się tych dwóch płaszczyzn wyznacza krawędź zwaną osią rzutów, a oznaczaną jako X. Oś X dzieli płaszczyzny na dwie półpłaszczyzny, a te z kolei wyznaczają w przestrzeni cztery ćwiartki. Ponieważ w rzutowaniu można wprowadzać kolejne płaszczyzny, które w miejscu przecięcia będą wyznaczały nowe osie rzutów, oś X dla tylko dwóch płaszczyzn  π1,π2 będziemy opisywać jako X1,2.

Rys.1 Układ dwóch rzutni prostopadłych

Na kolejnym rysunku możemy zobaczyć, jak wygląda rzutowanie punktu w metodzie Monge'a. Punkty A,B,C,D znajdują się w różnych ćwiartkach. Aby znaleźć rzut punktu A na płaszczyznę π1, należy poprowadzić przez punkt prostą rzutującą prostopadłą do tej płaszczyzny. Prosta rzutująca przetnie płaszczyznę π1 w p. A', podobnie postępując z drugim rzutem uzyskujemy obraz p. A na płaszczyźnie π2 jako p. A". Odcinki od osi X do punktów A' i A" wskazują jednoznacznie położenie punktu A w przestrzeni.

Rys. 2 Układ dwóch rzutni i sposób rzutowania punktów znajdujących się w różnych ćwiartkach

Układ dwóch rzutni jak na rys. 2 jest układem przestrzennym, trudnym do narysowania na płaskiej kartce papieru. W geometrii wykreślnej bardzo często układ taki zastępujemy płaskim, przez położenie płaszczyzny π2 (rys.3). Wymaga to obrotu płaszczyzny π2 wokół osi X1,2 o 90°.

   

Rys.3 Rozwinięty układ rzutni, po prawej zobrazowanie rzutów punktu A na dwie płaszczyzny, prostą poprowadzoną przez punkty A' i A" nazywamy odnoszącą.

Rzutowanie punktu na dwie płaszczyzny prostymi prostopadłymi do tych płaszczyzn wyznacza dwa kolejne punkty, a zgodnie z zasadami geometrii trzy punkty w przestrzeni wyznaczają płaszczyznę. W przypadku rzutów Monge'a płaszczyzna taka pozostawia w miejscu przecięcia z istniejącymi płaszczyznami   π1,π2 ślad zwany prostą odnoszącą. Prosta odnosząca pochodząca od rzutów tylko jednego punktu jest zawsze ^ do osi X1,2, a rzuty punktu muszą leżeć na tej prostej, lub inaczej - jeśli rzuty punktu nie leżą na jednej prostej odnoszącej, to nie są rzutami tego samego punktu. W dalszych rozważaniach wysokością punktu będziemy nazywali odległość rzutu punktu na płaszczyźnie π2  od osi X1,2, (na rysunku 3 wymiar n), a głębokością punktu odległość rzutu punktu na płaszczyźnie π1  od osi X1,2 (na rysunku 3 wymiar m).

   

Rys.4 Przypadki szczególne punktu. A- punkt leży na osi X1,2, tym samym jego rzuty również leżą na tej osi i pokrywają się, B- punkt B leży na płaszczyźnie π1 tym samym jego odległość od osi X1,2, na płaszczyźnie π2 jest równa 0, C-punkt leży na płaszczyźnie π2, D- punkt leży w IV ćwiartce stąd jego oba rzuty znajdują się po jednej stronie osi na rzutni poziomej, E - punkt znajduje się w II ćwiartce, F- punkt znajduje sie w IV ćwiartce i jest równo oddalony od osi X (ma taka sama wysokość i głębokość, G- jak F ale w II ćwiartce.
 
Znajomość położenia punktów w przestrzeni i ich rzutów, jest kluczowa przy większości zadań graficznych, należy ją bezwzględnie przyswoić.
 
Rzuty na trzy płaszczyzny prostopadłe
 
Dla uzyskania figur przestrzennych posiadających trzy wymiary wprowadza sie trzecią rzutnię, na ogół prostopadłą do dwóch pozostałych rzutni. Spełniony jest warunek π1 ^ π2 ^ π3. Rzutowanie punktu A na trzy płaszczyzny pokazuje rys. 5 po lewej.

Rys.5 Trzy rzutnie prostopadłe wyznaczają trzy osie rzutów, X1,2 na przecięciu się płaszczyzn π1 ,π2  ;  X1,3 na przecięciu się płaszczyzn π1 i π3  i X2,3 na przecięciu płaszczyzn  π2 i π3
Podobnie jak w przypadku dwóch płaszczyzn, także tutaj możemy dokonać transformacji przestrzeni kładąc płaszczyzny  π2 i π3  poprzez ich obrót o 90 względem osi rzutów.

Rys.6 Rozwinięcie poziome trzech rzutni poprzez obrót wokół osi rzutów X1,2 i X2,3

Jak łatwo zauważyć, na rys. 6 nie ma nigdzie punktu A, są za to jego rzuty odpowiednio A', A'' i A'''. Odległości rzutów od osi rzutów X1,2 i X2,3 wskazują jednoznacznie położenie punktu A w przestrzeni. Odcinki A'A" znajdują się na odnoszącej prostopadłej do osi X1,2 , a odcinki A"A''' na odnoszącej prostopadłej do osi   X2,3

Rzut punktu na trzy płaszczyzny przy czym X1,2 nie jest ^ X1,3 

Trzecia płaszczyzna rzutująca bardzo często nie jest prostopadła do układu dwóch rzutni. Rozwiązanie takie przyjmowane jest dla zobrazowania widoku obiektu z boku, uzyskania rzeczywistych wymiarów, itp. Trzecią rzutnię również możemy tutaj położyć na płaszczyznę przez jej obrót wokół osi X1,3 o 90°. Rzut punktu A na trzecią płaszczyznę będzie w tym wypadku wymagał poprowadzenia odnoszącej prostopadłej do osi X1,3 i odmierzenia wysokości punktu A nad rzutnią π1,   na rysunku wymiar "m". Uzyskany w ten sposób trzeci rzut A''' nosi nazwę transformacji punktu A.

Rys.7 rzut punktu A na trzy płaszczyzny i płaskie zobrazowanie rzutu.

W geometrii wykreślnej często wprowadza się czwartą i dalsze rzutnie w zależności od potrzeb rysunku. Rzutnia o osi X3,4 będzie np. prostopadła do rzutni π3. Kolejne obrazy punktów pokazuje rys. 8.

Rys. 8 Kolejna transformacja punktu A na czwartą płaszczyznę.

 

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});