Elementy podstawowe

Elementy podstawowe

 

– pojęcie punktu, prostej, płaszczyzny

– związki miedzy elementami podstawowymi

– elementy niewłaściwe

– rzutowanie, rodzaje rzutów

– ćwiczenia do działu

 

Od czegoś zawsze trzeba zacząć, w przypadku geometrii są to pojęcia podstawowe takie jak: punkt, prosta, płaszczyzna.

Punkt – nie ma wymiaru (jest nieskończenie mały), na rysunkach oznaczamy go najczęściej małym kółkiem i opisujemy symbolem np. „A”. Każdy punkt przynależy do jakiejś płaszczyzny i można mu przypisać współrzędne.

Prosta – linia biegnąca przez dwa dowolne nie pokrywające się punkty w przestrzeni, nieskończenie długa (nie ma początku ani końca), oznaczana jest na rysunkach zwykle małą literą alfabetu, np. prosta „m”, każda prosta  przynależy  do danej płaszczyzny.

Płaszczyzna – zbiór punktów w przestrzeni  wyznaczany przez co najmniej trzy nie pokrywające się ze sobą punkty, lub przez prostą i punkt nie należący do tej prostej. Płaszczyzna utożsamiana jest z czymś płaskim, np. kartką papieru, powierzchnią stołu rozciągniętą do nieskończoności i nieskończenie płaską. Płaszczyzna nie ma wymiaru (szerokości, długości, grubości). W geometrii płaszczyzny oznaczane są literami alfabetu greckiego np. „α”,”β”,.

 

Związki między elementami podstawowymi – tworzą tzw. aksjomaty geometrii.

   

Rys.1 Dwie płaszczyzny nierównoległe do siebie przecinając się tworzą prostą, po prawej – dwa punktu A i B nie pokrywające się tworzą prostą

   

Rys.2 Trzy nie pokrywające sie ze sobą punkty tworzą płaszczyznę, trzy nierównoległe do siebie płaszczyzny przecinając się tworzą punkt.

Rys.3 Prosta „m” nierównoległa do płaszczyzny π, przecina tę płaszczyznę wyznaczając punkt P.

Rys. 4 Dwie proste „m” i „n” są równoległe, jeśli przynależą do tej samej płaszczyzny i nie mają punktów wspólnych.

Rys.5 Dwie proste są przecinające się, jeśli należą do tej samej płaszczyzny i mają jeden punkt wspólny.

Rys.6 Dwie proste są skośne, jeśli nie należą do jednej płaszczyzny i nie mają punktu wspólnego.

Powyżej pokazałem, że prosta nierównoległa do płaszczyzny przecina tą płaszczyznę w jednym punkcie. W praktyce może wystąpić też przypadek równoległości i prostopadłości prostej i płaszczyzny. Prosta jest równoległa do płaszczyzny jeśli nie ma z nią punktów wspólnych lub jest zawarta w płaszczyźnie (leży na płaszczyźnie).

rys. 7 Prosta „m” jest równoległa do płaszczyzny π, m║π

Rys. 8 Prosta m należy do płaszczyzny π, mÎπ

Rys.9 Prosta m jest prostopadła do płaszczyzny π, w punkcie P, jeśli jest też prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, m ^ k i  m ^ l oraz proste k i l przechodzą przez punkt P.