Menu

Elementy podstawowe

Elementy podstawowe
 
- pojęcie punktu, prostej, płaszczyzny
- związki miedzy elementami podstawowymi
- elementy niewłaściwe
- rzutowanie, rodzaje rzutów
- ćwiczenia do działu
 
Od czegoś zawsze trzeba zacząć, w przypadku geometrii są to pojęcia podstawowe takie jak: punkt, prosta, płaszczyzna.
Punkt - nie ma wymiaru (jest nieskończenie mały), na rysunkach oznaczamy go najczęściej małym kółkiem i opisujemy symbolem np. "A". Każdy punkt przynależy do jakiejś płaszczyzny i można mu przypisać współrzędne.
Prosta - linia biegnąca przez dwa dowolne nie pokrywające się punkty w przestrzeni, nieskończenie długa (nie ma początku ani końca), oznaczana jest na rysunkach zwykle małą literą alfabetu, np. prosta "m", każda prosta  przynależy  do danej płaszczyzny.
Płaszczyzna - zbiór punktów w przestrzeni  wyznaczany przez co najmniej trzy nie pokrywające się ze sobą punkty, lub przez prostą i punkt nie należący do tej prostej. Płaszczyzna utożsamiana jest z czymś płaskim, np. kartką papieru, powierzchnią stołu rozciągniętą do nieskończoności i nieskończenie płaską. Płaszczyzna nie ma wymiaru (szerokości, długości, grubości). W geometrii płaszczyzny oznaczane są literami alfabetu greckiego np. "α","β",.
 
Związki między elementami podstawowymi - tworzą tzw. aksjomaty geometrii.

   

Rys.1 Dwie płaszczyzny nierównoległe do siebie przecinając się tworzą prostą, po prawej - dwa punktu A i B nie pokrywające się tworzą prostą

   

Rys.2 Trzy nie pokrywające sie ze sobą punkty tworzą płaszczyznę, trzy nierównoległe do siebie płaszczyzny przecinając się tworzą punkt.

Rys.3 Prosta "m" nierównoległa do płaszczyzny π, przecina tę płaszczyznę wyznaczając punkt P.

Rys. 4 Dwie proste "m" i "n" są równoległe, jeśli przynależą do tej samej płaszczyzny i nie mają punktów wspólnych.

Rys.5 Dwie proste są przecinające się, jeśli należą do tej samej płaszczyzny i mają jeden punkt wspólny.

Rys.6 Dwie proste są skośne, jeśli nie należą do jednej płaszczyzny i nie mają punktu wspólnego.

Powyżej pokazałem, że prosta nierównoległa do płaszczyzny przecina tą płaszczyznę w jednym punkcie. W praktyce może wystąpić też przypadek równoległości i prostopadłości prostej i płaszczyzny. Prosta jest równoległa do płaszczyzny jeśli nie ma z nią punktów wspólnych lub jest zawarta w płaszczyźnie (leży na płaszczyźnie).

rys. 7 Prosta "m" jest równoległa do płaszczyzny π, m║π

Rys. 8 Prosta m należy do płaszczyzny π, mÎπ

Rys.9 Prosta m jest prostopadła do płaszczyzny π, w punkcie P, jeśli jest też prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, m ^ k i  m ^ l oraz proste k i l przechodzą przez punkt P.

Elementy niewłaściwe
 
Pojęcie elementów niewłaściwych zostało zapoczątkowane przez francuskiego matematyka Ponceleta. Punktem niewłaściwym nazwał on punkt w nieskończoności do którego biegnie prosta, tym samym punkt ten nadaje jej kierunek i zwany jest często "kierunkiem prostej". W geometrii wykreślnej punkt taki oznaczany jest duża literą z indeksem nieskończoności, np. A¥. Zbiór wszystkich punktów niewłaściwych na płaszczyźnie nazywamy "prostą niewłaściwą", która z kolei oznacza ustawienie płaszczyzny w przestrzeni. Zbiorem wszystkich punktów niewłaściwych i prostych niewłaściwych jest płaszczyzna niewłaściwa.
 
Rozszerzające związki miedzy elementami podstawowymi o elementy niewłaściwe możemy teraz powiedzieć, że:
- dwie proste równoległe mają jeden punkt wspólny zwany punktem niewłaściwym
- prosta równoległa do płaszczyzny ma z nią punkt wspólny niewłaściwy
- dwie płaszczyzny równoległe mają wspólną prostą niewłaściwą
- trzy płaszczyzny, z których dwie są równoległe do siebie, mają jeden punkt wspólny niewłaściwy utworzony przez punkt wspólny dwóch prostych powstałych w miejscach przecięcia płaszczyzn

Rys. Dwie proste równoległe mają wspólny punkt niewłaściwy

Rys. Płaszczyzna i równoległa do nie niej prosta mają wspólny punkt niewłaściwy.

Rys. Trzy płaszczyzny z których dwie są równoległe mają wspólny punkt niewłaściwy

Rzutowanie, rodzaje rzutów
 
Rzutowanie to forma przekształcenia (odwzorowania) figury płaskiej 2D lub przestrzennej 3D na płaszczyźnie dwuwymiarowej zwanej rzutnią. Rzutowanie przypomina odwzorowanie cienia przedmiotu zawieszonego nad ziemią oświetlonego promieniami słonecznymi, gdzie ziemia jest płaszczyzną rzutni, a promienie słoneczne prostymi rzutującymi.  W zależności od sposobu rzutowania możemy mówić o rzutowaniu środkowym i równoległym.
 
Rzutowanie środkowe
 
Polega na przyjęciu jako środka rzutowania "S" punktu właściwego, tzn. o określonym położeniu w przestrzeni, zwanej w tym przypadku przestrzenia Euklidesową. Z rzutem środkowym mamy do czynienia w oku ludzkim, migawce aparatu fotograficznego, itp. W przybliżeniu można założyć, ze rzut środkowy powstaje przy oświetleniu obiektu leżącego nad stołem żarówka. W rzucie środkowym promienie rzutujące stanowią pęczek prostych wychodzących z jednego źródła (środka rzutowania) i przechodząc przez obiekt tworzą jego obraz na rzutni w powiększeniu, z zachowaniem proporcji (np. jeśli podstawa rzutowanego trójkąta uległa dwukrotnemu wydłużeniu, to pozostałe jego boki na powstałym rzucie również wydłużą się dwa razy).

Rzutowanie równoległe
 
Polega na przyjęciu jako środka rzutowania punktu niewłaściwego położonego w nieskończoności. przy takim założeniu proste rzutujące są do siebie równoległe, w powstały obraz obiektu na rzutni ma te same wymiary co w rzeczywistości. Szczególnym przypadkiem rzutu równoległego jest rzut prostokątny, w którym proste rzutujące są prostopadłe do rzutni.
Rzut równoległy ma następujące aksjomaty:
- rzut punktu jest punktem
- rzut prostej nieprostopadłej do rzutni jest prostą, a prostej prostopadłej do rzutni - punktem
- rzut płaszczyzny jest płaszczyzną
- stosunek odcinków nierównoległych do płaszczyzny rzutowania jest równy stosunkowi ich rzutów (rzutowanie równoległe zachowuje proporcje).

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});