Menu

Bryły obrotowe

Bryły obrotowe powstają w wyniku obrotu dookoła osi dowolnej krzywej o kąt 360°. Najczęściej spotykanymi figurami obrotowymi są bryły powstałe w wyniku obrotu dookoła osi prostej lub kuli. W pierwszym przypadku otrzymujemy walec lub stożek, w drugim kulę bądź torus.

Kula  - powstaje w wyniku obrotu o kąt 180° okręgu wokół osi leżącej w jego płaszczyźnie i przechodzącej przez jego środek. Zbiór wszystkich punktów leżących w odległości r od środka kuli S nazywamy powierzchnią kuli lub sferą. Zbiór wszystkich punktów należących do sfery i leżących wewnątrz sfery nazywamy kulą. Jeżeli obrót okręgu wykonujemy wokół osi leżącej w jego płaszczyźnie ale nie przechodzącej przez jego środek, to powstałą bryłę nazywamy torusem.

Rozróżniamy trzy rodzaje torusów:
- torus zwykły - powstaje w wyniku obrotu okręgu wokół osi leżącej poza tym okręgiem

- torus jednobiegunowy - powstaje w wyniku obrotu okręgu wokół osi stycznej do okręgu w jednym punkcie.

- torus dwubiegunowy - powstaje przez obrót okręgu wokół osi przechodzącej przez okrąg (przecinającej go w dwóch punktach)

Walec - z punktu widzenia geometrii wykreślnej zbiór prostych równoległych, poprowadzonych przez krzywą (zwaną kierownicą) tworzy powierzchnię walcową. Krzywa przez którą poprowadzone są proste nosi nazwę kierownicy, a proste - tworzącymi powierzchnię walcową.  Jeśli kierownica jest okręgiem, a proste są prostopadłe do płaszczyzny do której należy okrąg, to powierzchnia utworzona przez te proste zwie się powierzchnią walcową obrotową

Stożek - utworzony jest ze zbioru prostych poprowadzonych przez kierownicę i jeden punkt nie należący do płaszczyzny w której leży kierownica. 

Wykreślanie brył obrotowych wymaga znajomości pojęcia elipsy. Z geometrii w szkole średniej i gimnazjum wiemy, że elipsa to spłaszczony okrąg. Sposób jej kreślenia omówiłem w części dotyczącej  podstawowych konstrukcji geometrycznych. Poniżej poznamy znacznie więcej właściwości elipsy, pozwalających wykreślić ją na podstawie zaledwie kilku danych.

ELIPSA

Definicja - elipsą nazywamy zbiór geometryczny punktów których suma odległości od dwóch stałych punktów F1 i F2 zwanych ogniskami elipsy, jest stała i równa tzw. wielkiej osi elipsy. Dla zrozumienia tego stwierdzenia wykreślmy elipsę i oznaczmy jej wielką oś jako odcinek AB.

Z powyższego twierdzenia wynika, że suma długości odcinków:

F1K + KF2 = F1M + MF2 = F1C + CF2

Położenie punktów F1 i F2 jest stałe, ale zależy od stopnia spłaszczenia elipsy. Im bardziej płaska elipsa, tym ogniska elipsy są dalej od jej środka S.  I na odwrót, jeśli elipsa kształtem zbliża się do okręgu, to ogniska zbliżają się do jej środka. W skrajnym przypadku elipsa zamienia sie w okrąg, a jej ogniska pokrywają się ze środkiem okręgu.

Inne cechy elipsy:

Elipsa jest określona jeśli dane są jej ogniska i jedna oś, albo jeśli dane są jej ogniska i co najmniej 1 punkt, lub jeśli dane są dwie osie.

Każdą elipsę można uważać za rzut prostokątny okręgu, przy czym rzut taki zachowuje wszystkie właściwości okręgu, np. styczna do okręgu jest też styczna do elipsy powstałej z rzutu tego okręgu.

ŚREDNICE SPRZĘŻONE - w okręgu dwie proste prostopadłe średnice (tzw. średnice sprzężone)  maja tę właściwość, że cięciwy poprowadzone równoległe do jednej ze średnic są dzielone dokładnie na pół przez drugą średnicę. Tę samą właściwość posiada elipsa utworzona z rzutu okręgu, a więc rzutem średnic sprzężonych okręgu są średnice sprzężone elipsy. W każdym okręgu istnieje nieskończenie wiele par średnic sprzężonych, a zatem w elipsie także możemy możemy wyznaczyć nieskończenie wiele par średnic sprzężonych.

Rzutem kwadratu opisanego na okręgu jest równoległobok opisany na elipsie. (zob. rys na dole)

Z poniższego rysunku możemy też odczytać inną ciekawą właściwość, jeżeli odcinek AB jest średnicą elipsy, to średnicą z nią sprzężoną będzie odcinek CD dzielący cięciwy równoległe do AB dokładnie w połowie, lub inaczej - jeśli odcinki AB i CD są średnicami sprzężonymi elipsy, to cięciwy poprowadzone równolegle do AB zostaną przepołowione przez odcinek CD.

Jeśli odcinki AB i CD są średnicami sprzężonymi elipsy to styczne poprowadzone w p. A i B są równoległe do odcinka CD i na odwrót styczne poprowadzone w p. C i D są równoległe do odcinka AB.

Jeśli dane są średnice sprzężone elipsy, to elipsa ta jest jednoznacznie określona.

Spróbujmy teraz wykonać kilka przykładów.

ZADANIE 1. narysuj rzuty okręgu o promieniu r leżącego na płaszczyźnie α prostopadłej do danej prostej a.

   

Rozwiązanie: zadanie można wykonać na kilka sposobów. Proponuję następujący - przez punkt S na rzutni pionowej  prowadzimy prostą równoległą do osi X. Znajdujemy jej drugi rzut prostopadły do prostej a. Na rzucie odcinamy długości promienia r otrzymując pierwszą oś AB szukanej elipsy. Punkty A i B przenosimy na odnoszących na drugą rzutnię. Znajdujemy dwa dodatkowe punkty elipsy, w tym celu prowadzimy równoległą do osi X ale na rzutni poziomej i znajdujemy jej drugi rzut prostopadły do prostej a". Na rzucie tym odkładamy długości promienia r. Mamy już ooś elipsy i dwa jej punkt K i L. Aby wykreślić jej drugą oś, korzystamy z konstrukcji przedstawionej  tutaj. W tym kreślimy duży okrąg przechodzący przez punkty A'B'. Z punktu L' rysujemy równoległą do prostej a', w miejscu przecięcia z okręgiem uzyskujemy punkt L0. Prowadzimy prosta z p. S do L0 a następnie równoległą z z p. L' w kierunku prostej a' punkt przecięcia wyznacza jeden z punktów małego okręgu potrzebnego do konstrukcji małej osi elipsy. Rysujemy ten okrąg i znajdujemy p. C' i D' wyznaczające małą oś. Na tym rzucie możemy już wykreślić całą elipsę.

   

Identycznie postępujemy z rzutem pionowym wykorzystując do konstrukcji drugiej osi punkty A"B". Gotowy rysunek po prawej. Na rzucie poziomym oś wielką stanowi odcinek A'B' a oś małą elipsy odcinek C'D', na rzucie pionowym odpowiednio odcinki K"L" i M"N".

ZADANIE 2. Narysuj rzuty okręgu o promieniu r leżącego na płaszczyźnie określonej śladami. hα, Vα.

   

Rozwiązanie: Wykonujemy kład płaszczyzny zgodnie z konstrukcją opisaną w dziale 6. W tym celu obieramy dowolny punkt na śladzie pionowym i rzutujemy go na os X, następnie przenosimy go na rzutnię poziomą prostopadle do śladu poziomego płaszczyzny.

2.Wykonujemy kład środka okręgu S znajdując punkt S0. Z punktu S0 zakreślamy okrąg o promieniu r. następnie obieramy dwie średnice sprzężone, A0B0 i C0D0. Średnicę A0B0 najprościej obrać na prostej prostopadłej do śladu płaszczyzny. Ułatwi to późniejsze przenoszenie średnic na kolejne rzuty.

Ponieważ średnica okręgu C0D0 jest równoległa do śladu poziomego płaszczyzny, to jej rzut poziomy jest także równoległy. Rysujemy prostą równoległą do śladu hα  i prowadzimy prostopadłe z p. C0 i D0 do przecięcia z prostą, znajdujemy w ten sposób oś wielką elipsy. Znalezienie osi małej można wykonać na kilka sposobów. Na rysunku powyżej wykonano podniesienie z kładu punktu B0 (kierunek rzutowania zaznaczony strzałkami).

Zalezienie rzutu pionowego okręgu wymaga wprowadzenia nowych osi sprzężonych takich, aby jedna z nich była prostopadła do śladu płaszczyzny a druga równoległa. Rysujemy osie E0F0 i G0H0 . Przez punkt S" prowadzimy prostopadłą i równoległą do śladu pionowego płaszczyzny. Oś elipsy H"G" ma taki sam wymiar jak średnica okręgu. Możemy odciąć z punktu S" długości równe promieniowi r koła, uzyskując punkty H" i G".  Oba punkty możemy też znaleźć przenosząc je prostopadle do śladu V10  , a następnie zataczając łuk wokół środka obrotu płaszczyzny.

Pozostaje znaleźć punkty E" i F". Punkty te możemy odszukać już na rzucie poziomym okręgu prowadząc odnoszące prostopadłe do śladu płaszczyzny (punkty E', F'). Gotowy rysunek po lewej.

ZADANIE 3. Wyznaczyć rzuty walca obrotowego prostego o osi pokrywającej się z prostą m o wysokości H=5cm. Punkt A leży na krawędzi podstawy i powierzchni bocznej walca.

Rozwiązanie: Aby wykonać to zadanie, musimy w pierwszej kolejności doprowadzić płaszczyznę w której znajduje się podstawa walca do postaci rzutującej, tym samym   tak przekształcić płaszczyznę w której leży oś walca (prosta m), aby rzutem osi był punkt. Po takiej transformacji odległość punktu A od rzutu prostej m wyznaczy nam promień podstawy walca. Rozpoczynamy od obrania na prostej m dwóch dowolnych punktów (punkty 1 i 2). Następnie obieramy oś rzutów X1 równoległą do rzutu poziomego prostej m (m') i wykonujemy kład prostej m na nową płaszczyznę rzutów  π3 . Uzyskujemy rzut prostej m''' i trzeci rzut punktu A'''. Teraz obieramy rzutnię π4^π3 o osi rzutów X2 . Otrzymujemy rzut prostej m w postaci punktu m""; odległość punktu A'''' od p. m'''' wyznacza promień szukanej podstawy walca. Możemy ją wykreślić.

Ponieważ na rzutni  π1 punkt A' leży na osi walca, to jego odległość od osi rzutów X2 jest identyczna jak odległość środka podstawy walca punktu m"".  Na rzutni π3 będzie on więc leżał na przecięciu się podstawy z tworzącą walca. Przenosimy p. A na rzutnię π3 a następnie kreślimy prostopadłą do osi walca (prostej m''') i odcinamy cyrklem długość średnicy podstawy (odcinek A'''B'''). Teraz znając wartość wysokość walca możemy znaleźć dwa kolejne punkty G''' i F''' wyznaczające drugą podstawę. Otrzymujemy prostokąt A'''B'''G'''F''', będący rzutem walca na płaszczyźnie π3.

3. Na prostokącie oznaczamy inne charakterystyczne punkty S1 i S2 będące środkami podstaw walca. Punkty te będą nam potrzebne do kreślenia elips  na rzutniach π2 i π1. Na rzutni π3 punkty S1 i S2 pokrywają się z innymi charakterystycznymi punktami podstaw walca, wyznaczającymi jego średnice sprzężone CD i HJ. Oznaczamy je na rysunku i przystępujemy do wykreślania kolejnego rzutu walca. Aby narysować rzuty podstaw w formie elips potrzebujemy dwóch osi sprzężonych. Przenosimy prostopadle do osi rzutów X1 punkty A''', B''', G''' i F'''. Ponieważ w na rzutni  π1 p. A' leży na osi walca, to p. B' musi leżeć również na jego osi. Podobnie p. G' i F'. Mamy juz wyznaczone małe osi elips. Pora na osie wielkie. Przenosimy p. D''', C''', H''', J'''. Zwróćmy uwagę, że na rzutni π4  punkty te leżą na prostej prostopadłej do osi rzutów X2, muszą więc leżeć na prostej prostopadłej do osi X1. Prowadzimy przez środki podstaw S1 i S2 prostopadłe do osi X1 i znajdujemy na nich odpowiadające rzuty p. C', D', H' i J'.

4. Znając położenie dwóch osi sprzężonych możemy wykreślić elipsy. na rysunku nie pokazano ich kreślenia z uwagi na zbyt małą rozdzielczość. Pozostało nam wykreślić rzut na rzutni  π2. Najłatwiej będzie nam przenieść środki podstaw, na oś walca. Teraz kolejne punkty. Zwróćmy uwagę, że p. C'D' i H'J' są w jednakowej odległości od osi rzutów X1. Sokor tak, to na rzutni π2, ich odległości od osi rzutów X musza byc jednakowe. Prowadzimy proste równoległe przez środki elips i na odnoszących znajdujemy rzuty p. C", D" H" i J".  teraz możemy przenieść p. A, B, F i G. Rysujemy odnoszące w kierunku osi X i odcinamy na nich odległości tych p. od osi rzutów X1 (przykładowo dla p. B odcinek koloru fioletowego). Powstałe w ten sposób osi elips nie sa do siebie prostopadłe, musimy zastosować inną konstrukcję kreślenia (zob.  konstrukcje podstawowe). Jeśli elipsa jest dobrze wykreślona to prowadząc prostopadła do osi walca i odkładając na niej promień podstawy, powstały p. musi znaleźć sie na elipsie. Wyznaczenie tego punktu jest nam zresztą niezbędne do wykreślenia tworzących walca.

Gotowe rysunki poniżej.

   

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});