Menu

Transformacja układu odniesienia

7.3 Transformacje układu odniesienia

Transformacja układu odniesienia polega na wprowadzeniu dodatkowej rzutni prostopadłej do jednej z rzutni poprzedniego układu i przeniesienia na nową rzutnię wszystkich elementów. W ten sposób do pierwotnego układu rzutni o osi X (π1, π2), wprowadzamy nowy układ X1 (π2, π3) lub X1 (π1, π3). Dokonujemy w ten sposób jednokrotnej zmiany rzutni. Wprowadzając następnie rzutnię prostopadłą do nowego układu dokonujemy kolejnej transformacji uzyskując tzw. wielokrotną zmianę rzutni. Po co takie zabiegi? Dzięki nowym układom rzutni możemy dokonać zrzutowania elementu do postaci szczególnej, w której będą widoczne np. rzeczywiste długości odcinków, kąty między elementami, itp.

Transformacja układu odniesienia może przybierać w praktyce następujące rozwiązania:

1. Rzutnia po transformacji równoległa do danej prostej - dana prosta w nowym układzie odniesienia staje się dzięki temu prostą czołową. Jest to szybki sposób znalezienie rzeczywistej długości odcinka leżącego na tej prostej, lub znalezienia kata pomiędzy prostą a płaszczyzną rzutni.

2. Rzutnia po transformacji prostopadła do danej prostej - rozwiązanie stosowane zwykle jako druga transformacja dla przypadku w którym prosta jest w położeniu szczególnym (prosta czołowa lub pozioma), w nowym układzie rzutowania prosta taka zamienia się w punkt. Rozwiązanie pozwala na np. określenie  odległości punktu od prostej.

3. Nowa rzutnia równoległa do danej płaszczyzny- nowa rzutnia jest tutaj ustawiona równolegle do danej płaszczyzny, w przypadku gdy dana płaszczyzna przyjmuje położenie rzutujące i jeden z jej rzutów jest prostą. Nowa oś rzutów jest w tym wypadku równoległa do rzutu lub jednoczy się z nim.

4. Nowa rzutnia prostopadła do danej płaszczyzny - aby rzutnia w nowym układzie była prostopadła do danej rzutni musi być prostopadła do prostej leżącej na tej płaszczyźnie. W nowym układzie prosta przyjmie postać punktu.

ZADANIE 1. Dane są rzuty poziome i pionowe odcinka AB. Wyznacz kąty nachylenia tego odcinka w stosunku do rzutni   π1 i π2

Rozwiązanie: Wprowadzamy nowe układy rzutni o osi  X1, równoległej do rzutu poziomego odcinka AB i X2 równoległej do rzutu pionowego. Następnie od nowych osi odmierzamy odległości punktów A i B od osi X odpowiednio na osi X1 odległości pionowe odcinka, na osi X2 odległości poziome odcinka. Kąty α''' i βIV pokazują odpowiednio nachylenie odcinka AB w stosunku do rzutni π1 i π2

ZADANIE 2. Dane są proste równoległe a i b, których rzuty są skośne do układu rzutni. Znaleźć odległość między tymi prostymi.

Rozwiązanie: Proste równoległe jak wiemy z poprzednich rozważań leża na jednej płaszczyźnie. Niech będzie to płaszczyzna α. Płaszczyzna ta jest skośnie ustawiona do obu rzutni. Aby znaleźć odległość między prostymi a i b musimy doprowadzić tę płaszczyznę do postaci szczególnej w której będzie równoległa do rzutni. Po pierwsze obieramy na płaszczyźnie α prosta pomocniczą m tak aby była równoległa do osi rzutów. Prosta ta przecina proste a i b w punktach 1 i 2. Znajdujemy odpowiadające im rzuty na rzutni pionowej i wykreślamy rzut prostej m". Następnie wprowadzamy nową rzutnię prostopadłą do prostej m" o osi rzutów X2. Ponieważ rzutnia jest prostopadła do prostej m", prosta ta po transformacji przekształci się w punkt, a płaszczyzna α w prostą. Aby wyznaczyć jej rzut przenosimy prostopadle do osi X2, rzuty odpowiadających punktów 1, 2, 3 i 4, przyjmując w tym wypadku odległości punktów od osi X1 (kolor czerwony na rysunku). Powstałą płaszczyznę α''' traktujemy teraz jako oś rzutów X3 nowego układu odniesienia i przenosimy w tym układzie rzuty punktów 1",2",3" i 4" od osi X2 (np. dla p.4 odległość ozn. kolorem zielonym), uzyskując nowe rzuty prostych a i b.   Odległość między prostymi w nowym układzie jest szukaną wielkością (odcinek A w kolorze czerwonym)

ZADANIE.3 Znaleźć odległość punktu K od trójkąta ABC.

      

ZADANIE 4. Dla danego trójkąta ABC znaleźć położenie środka okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie: Zadanie wymaga znalezienia rzeczywistej wielkości trójkąta ABC, a następnie na jego rzucie wytyczenia przynajmniej dwóch dwusiecznych kątów wierzchołkowych. Szukany p. będzie na ich przecięciu. Wystarczy go potem przenieść na inne rzutnie. Na początek podobnie jak w przykładzie powyżej, doprowadzamy płaszczyznę w której znajduje się trójkąt do postaci rzutującej. Trójkąt ABC zamieni się tym samym w odcinek.

Następnie, aby wyznaczyć kład trójkąta ABC, przyjmujemy kolejną rzutnię prostopadłą tym razem do płaszczyzny w której leży trójkąt. Oś nowej rzutni (X3) będzie równoległa do odcinka A'''C'''.

Od nowej osi rzutni odmierzamy w kierunku prostopadłym odległości punktów A', B' i C' od osi X2 (na rysunku odcinki oznaczone przekreśleniami w kolorze czerwonym. Uzyskujemy czwarte rzuty punktów, które połączone dają kład trójkąta ABC. W trójkącie tym wyznaczamy osie symetrii co najmniej dwóch kątów wierzchołkowych (na rysunku powyżej wyznaczono oś symetrii kąta ACB).

To samo robimy z drugim kątem wierzchołkowym np. kątem ABC. Na przecięciu dwusiecznych otrzymujemy punkt S będący szukanym środkiem okręgu wpisanego. Wystarczy go teraz narysować i przenieść p. ś do poprzednich rzutni zachowując zasady transformacji. Odkładane w poszczególnych przeniesieniach odcinki oznaczono odpowiednio kolorem niebieskim i zielonym.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});