Menu

Transformacja położenia

Transformacja położenia - polega na takiej zmianie położenia wzajemnie leżących elementów (punktów, prostych, płaszczyzn, figur) w przyjętym układzie odniesienia (np. w układzie rzutni π1, π2) aby nie zostały zachwiane wzajemne relacje między nimi (kąty, odległości). Transformację położenia uzyskujemy przez przeniesienie elementów poziome lub czołowe.

Przeniesienie poziome - polega na takiej transformacji obiektu, aby wszystkie odległości punktów tego obiektu od rzutni π1 nie zmieniły się.

Przeniesienie pionowe - jest transformacją obiektu w nowe położenie w którym wszystkie głębokości punktów (odległości od rzutni  π2), nie zmieniają się.

Ogólnie mówiąc przy przeniesieniu poziomym nie zmienia się wielkość i kształt rzutu poziomego figury, a przy przeniesieniu pionowym wielkość i kształt rzutu pionowego. Co daje w praktyce taka transformacja? Na przykład pozwala na określenie rzeczywistych wymiarów figury, jeśli w obu rzutach jest ona nachylona względem obu rzutni. Dość jednak teorii, spójrzmy na praktyczne zadanie. Spróbujmy znaleźć długość odcinka AB.

   

Odcinek AB jest nachylony w stosunku do obu rzutni dlatego w obu rzutach jest skośny do osi rzutów. Aby znaleźć jego rzeczywistą długość musimy przenieść go poziomo lub pionowo w taki sposób aby w jednym z rzutów stał sie równoległy do osi X. Na rysunku powyżej wykonano przeniesienie poziome tzn. odcinek A'B' został przeniesiony z zachowanie długości w położenie równoległe do osi X. Rysując odnoszące z odpowiadających punktów uzyskujemy rzeczywistą długość tego odcinka na rzutni pionowej (odcinek A1"B1").

ZADANIE 2 Wyznaczyć wielkość trójkąta ABC (rys. po lewej).

   

Rozwiązanie: Ponieważ żaden bok trójkąta ABC nie jest równoległy do osi X, obieramy prostą k równoległą do rzutni poziomej (π1), przechodzącą przez p. C". Prosta k przecina bok A"B" trójkąta w p. 1". Znajdujemy na odnoszącej rzut tego punktu (1') i wyznaczamy prostą k'. Aby znaleźć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC musimy przeprowadzić dwie transformacje. W pierwszej kolejności sprowadzamy trójkąt ABC do położenia rzutującego na płaszczyźnie pionowej. W tym celu wykonujemy przeniesienie poziome trójkąta A'B'C' w taki sposób aby prosta k' była prostopadła do osi X. Przy takie transformacji prosta k' zamieni się na rzutni pionowej w punkt k1", a trójkąt ABC w odcinek A1"B1". Wykonując teraz przeniesienie pionowe przez obrót  trójkąta w nowe położenie równoległe do osi X (odcinek A2"B2"), otrzymamy na rzutni poziomej rzut A2'B2'C2', który jest rzutem prostopadłym trójkąta ABC.

ZADANIE 3 Znajdź najkrótszą odległość między punktem K a trójkątem ABC.

   

Rozwiązanie: najkrótszym odcinkiem pomiędzy punktem K a płaszczyzną trójkąta ABC jest odcinek prostopadły poprowadzony od punktu K do płaszczyzny w której leży trójkąt. Musimy więc doprowadzić trójkąt do postaci rzutującej i narysować prostopadłą do punktu K. Postępujemy podobnie jak w przykładzie 2, przez trójkąt prowadzimy prostą k równoległą do osi rzutów X. Znajdujemy drugi rzut prostej k, uzyskując odpowiednio rzuty p. 1' i 1". Następnie przenosimy trójkąt A'B'C' i punkt K' poziomo do nowego położenia tak, aby prosta k była prostopadła do osi X. Punkt K leżący obok trójkąta przenosimy za pomocą cyrkla, odcinając odpowiednie łuki np. z p. A' i B'. Znajdujemy drugi rzut trójkąta, który w tym położeniu będzie odcinkiem a więc płaszczyzna w której leży będzie prostopadła do rzutni. Szukana odległość oznaczona jest kolorem niebieskim.

ZADANIE 4. Znajdź odległość pomiędzy dwoma odcinkami skośnymi AB i CD.

   

Rozwiązanie: Odległość od siebie dwóch prostych skośnych jest równa najkrótszemu odcinkowi poprowadzonemu pomiędzy punktami leżącymi na tych prostych. Odcinek taki jest prostopadły do obu prostych. Aby rozwiązać powyższe zadanie musimy sprowadzić jeden z odcinków do postaci rzutującej tak, aby jego rzutem był punkt. Prota prostopadła poprowadzona od tego punktu do drugiego odcinka będzie rozwiązaniem zadania.

Ponieważ w obu rzutach odcinki nie są równoległe do osi X, musimy dokonać dwóch przeniesień, najpierw czołowe tak, aby odcinek CD był równoległy do osi X, a następnie poziome, aby odcinek CD stał sie prostopadły do osi X.  Szukana odległość oznaczona jest kolorem niebieskim.

ZADANIE 5. Znaleźć nowe położenie śladów płaszczyzny α (hα, Vα)  przeniesionej poziomo.

Rozwiązanie: Przeniesienie poziome płaszczyzny wymaga takiego jej obrotu , aby ślad poziomy płaszczyzny stał się prostopadły do osi X. W nowym położeniu nieznane jest usytuowanie śladu pionowego. Aby go wyznaczyć, na płaszczyźnie α obieramy prostą p tak, aby była równoległa do osi X w jednym z rzutów ( w naszym przypadku jest to rzut pionowy p"). Takie położenie prostej p spowoduje, że jej rzut poziomy p', będzie równoległy do śladu poziomego płaszczyzny  hα. Znajdujemy ten rzut przez przeniesienie punktu Vp przecięcia się prostej p" ze śladem pionowym płaszczyzny Vα , na oś rzutów (punkt Vp'). Następnie przenosimy ślad poziomy płaszczyzny i prostą p' w nowe położenie prostopadłe do osi X zachowując wszystkie odległości i proporcje (na rysunku odległość e). Znajdujemy nowe położenie p. Vp (punkt Vp1) i kreślimy rzut pionowy płaszczyzny Vα1. Punkt Vp1 jest jednocześnie rzutem pionowym prostej p (p1") w nowym układzie. Na rysunku po prawej pokazano przeniesienie czołowe płaszczyzny.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});