Menu

Ćwiczenia

Zadanie 1. Znaleźć rzuty krawędzi dwóch płaszczyzn α  i β, jak na rys.1.

Rys. 1

Rozwiązanie zad.1: Z rysunku widać, że płaszczyzna β przecina rzutnię poziomą i pionową pozostawiając ślady poziomy hβ i pionowy vβ. Ślady te przecinają sie ze śladami płaszczyzny α, odpowiednio ze śladem pionowym vα i poziomym vα. Punkty przecięcia leżą na krawędzi przecięcia się obu płaszczyzn. Nazwijmy ich rzuty odpowiednio hk  i vk . Gdyby ślady płaszczyzny α tworzyły jednakowy kąt z osią X, to oba punkty leżałyby na jednej odnoszącej i rzutem krawędzi byłaby odnosząca. Ponieważ ślady tworzą różne kąty, rzuty pionowy i poziomy krawędzi znajdziemy prowadząc odnoszące z p. węzłowych hk  i vk w kierunku osi X,  Uzyskamy w ten sposób rzuty p. węzłowych w kierunku drugiej rzutni. Punkt vk będzie miał na osi X rzut vk', a punkt hk rzut hk". Rzut poziomy krawędzi uzyskamy prowadząc prostą od p. hk do  vk' , rzut pionowy prostą od p. vk  do p. hk"

Rys.2 Rozwiązanie graficzne zadania nr 1.

Zadanie 2. Znaleźć rzuty krawędzi dwóch płaszczyzn α  i β, jak na rys.3.

Rys. 3

Z rysunku 3 wynika, że płaszczyzna β jest równoległa do rzutni poziomej, tym samym prostopadła do pionowej i zostawia na tej rzutni ślad pionowy vβ. mamy tutaj przypadek szukania krawędzi płaszczyzny rzutującej z płaszczyzną dowolną. Aby wyznaczyć rzuty tej krawędzi musimy mieć co najmniej dwa jej punkty. Pierwszy już mamy, jest to punkt węzłowy przecięcia się śladów płaszczyzn. Punkt drugi znajdziemy następująco:
- na płaszczyźnie  α poprowadzimy prostą równoległą do osi X, prosta przetnie ślad poziomy płaszczyzny w p. A.
- rzutujemy p. A na oś X, uzyskamy p. A"
- z p. A" prowadzimy prosta równoległa do śladu pionowego płaszczyzny V  , prosta przecina ślad pionowy płaszczyzny Vβ w p. X",
- prowadzimy odnoszącą z p. X" w kierunku rzutni poziomej, p. X leży na prostej m, a więc jego rzut poziomy X', będzie w miejscu przecięcia sie odnoszącej z rzutem poziomym prostej m'
- rzutujemy p. węzłowy obu płaszczyzn Vk, na oś X uzyskując p. Vk'
- rzutem poziomym krawędzi k będzie prosta poprowadzona przez p. Vk' i X'
- rzutem pionowym krawędzi będzie ślad płaszczyzny β

Rys.4 Rozwiązanie graficzne zadania 2.
 
Zadanie 3. Znaleźć p. przebicia prostą p trójkąta ABC. Określić na rzutach widoczność prostej.
 
Rozwiązanie zadania 3. Aby znaleźć p. przebicia trójkąta ABC przez prostą p prowadzimy płaszczyzne rzutujaca np. w kierunku rzutni poziomej. Płaszczyzna przecina trójkąt ABC w p. D i E, których rzuty D' i E' pojawiąa sie na rzutni. Prowadzimy odnosząca z punktów D' i E' i znajdujemy odpowiednio p. D" i E". Punkt przebicia prostej S na rzutni poziomej (S'), znajdzie  się na prostej p', natomiast na rzutni pionowej na prostej poprowadzonej z p. D" do E" w miejscu przecięcia się z prostą p". Aby określić widoczność prostej zwróćmy uwagę na zachowanie p. D. Na rzutni poziomej, punkt ten leży na prostej p , na rzutni pionowej pod prosta p", co oznacza, że prosta p' na rzutni poziomej leży nad punktem, tym samym jest widoczna aż do punktu przebicia S,  dalej biegnie pod trójkątem.

Rys. 5 Znajdowanie p. przebicia trójkąta ABC prostą p.
 
Zadanie 4. Znaleźć krawędź pomiędzy trójkątem i czworokątem jak na rys. 6. Określić części widoczne i niewidoczne.

Rys. 6

Rozwiązanie zadania 4. Punkt przebicia znajdujemy podobnie jak w zadaniu 3. Przewidujemy, że punkt taki wystąpi na ramieniu NM czworokąta, dlatego przez odcinek NM prowadzimy płaszczyznę rzutującą. Płaszczyzna przecina ramiona AC i CB trójkąta. Z p. przecięcia prowadzimy odnoszące i znajdujemy odpowiednie p. przecięcia na rzutni pionowej. Prowadząc prostą p" przez te punkty uzyskujemy punkt przebicia S". Podobny zabieg wykonujemy na odcinku KN. Okazuje się jednak, że w tym wypadku punktu przebicia nie ma (linia zielona nie przebija odcinka K"L"). Musimy w inny sposób znaleźć kolejny p. aby wykreślić krawędź wspólną.  Z rysunku wynika, że jeden z p. musi wystąpić na odcinku A"B". Krawędź musi więc przebić przekątną czworokąta poprowadzoną z p. K do M. Kreślimy przekątną (prosta m') i prowadzimy przez nią płaszczyznę rzutującą. Z punktów przebicia z ramionami trójkąta prowadzimy odnoszące znajdując ich odpowiednie rzuty (np. p. Z"). Przez punkty te prowadzimy prostą m", prosta przebija przekątną czworokąta na rzucie pionowym w p K". Prowadząc z p. S" i K" prostą do przecięcia z ramieniem AC trójkąta znajdujemy szukaną krawędź wspólną figur. Aby określić widoczność posłużymy sie p. M. Na rzucie pionowym p. M" leży pod trójkątem, tym samym na rzucie poziomym jest niewidoczny.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});